qweqweqe123123

Операторы для манипулирования топологией

По аналогии с операторами Эйлера, используемыми для манипулирования топологическими элементами в многообразных моделях, были предложены операторы, позволяющие манипулировать топологическими данными в немногообразных моделях [157]. Однако эти операторы не унаследовали полезных свойств операторов Эйлера, поскольку в их основе не лежало уравнение, подобное формуле Эйлера—Пуанкаре. Как вы помните, формула Эйлера—Пуанкаре устанавливает связь между количествами различных топологических элементов многообразной модели. Возможно, вы скептически относитесь к вопросу существования аналогичной формулы для немногообразной модели, принимая во внимание гибкость ее топологии. Однако Масуда с коллегами [109] обобщили формулу Эйлера—Пуанкаре на случай немногообразной модели следующим образом:

Операторы для манипулирования топологией

где:

v — количество вершин; е — количество ребер;

f — количество граней;

r — количество колец, или отверстий, в гранях;

V — количество замкнутых объемов во всех комплексах, или просто несвязных объектах';

Vh — количество отверстий, или проходов через объемы;

Vc — количество полостей, или пустот, в объемах;

С — количество комплексов, или несвязных объектов;

Ch — количество отверстий, или проходов через объекты;

Сс — количество полостей, или пустот, в объектах.

Выражение (Д.1) можно проверить на модели, изображенной на рис. Д.1, а. В этой модели v = 6, е = 9, f= 5, r = 0, V= 1, Vh = 0, Ve = 0, С = 1, Сh = 0 и Сс = 0. Подстановка этих значений в выражение (Д.1) дает 6 - 9 + (5 — 0) - (1 - 0 + 0) = = 1-0 + 0, что удовлетворяет уравнению.

Мы можем также показать, что формула Эйлера—Пуанкаре, приведенная в уравнении (5.1), является просто частным случаем уравнения (Д.1). Поскольку любой несвязный объект имеет один объем в многообразной интерпретации, мы знаем, что V = С, Vh = Ch и Vc = Сс. Подставляя это в уравнение (Д.1), получаем 1

Операторы для манипулирования топологией
 
Число оболочек s равняется сумме количества объемов V и количества пустот Vc, поэтому (Д.2) можно переписать следующим образом:
Операторы для манипулирования топологией
Следовательно, уравнение (Д.З) — это то же самое, что и уравнение (5.1), поскольку r и Vh, имеют такой же смысл, что h ирв уравнении (5.1).

Когда связь между топологическими элементами в немногообразной модели установлена, как в уравнении (Д.1), мы можем определить минимальный набор операторов, необходимых для манипулирования ими. Поскольку формула (Д.1) определяет плоскость в 10-мерном пространстве с координатами (v, e, f, r, V, Vh, Vc, С, Ch, Сс), имеется 9 независимых базисных векторов. Таким образом, для описания любого объекта в немногообразной топологии достаточно иметь 9 операторов и соответствующих им обратных операторов. Один из возможных минимальных наборов, определенный в [109], иллюстрирует рис. Д.7. Хотя девяти операторов достаточно для создания любого объекта, на практике можно достичь большей эффективности, если добавить еще несколько операторов. Как вы помните, в разделе 5.3.3 мы ввели семь операторов Эйлера, хотя для создания многообразной модели достаточно пяти.

Операторы для манипулирования топологией

Точно так же, как команды моделирования высокого уровня реализованы в системах твердотельного моделирования с помощью операторов Эйлера, команды немногообразных систем моделирования реализуются путем последовательного выполнения соответствующих операторов. На рис. Д.8 показано, как с помощью предложенных операторов, перечисленных на рис. Д.7, создается примитивный параллелепипед. Все прочие команды моделирования реализованы аналогично. На самом деле команды, доступные в немногообразных системах моделирования, выглядят точно так же, как команды обычных системах твердотельного моделирования, так что пользователь может и не заметить разницы в их использовании. Единственным различием будет область значений представимого объекта и, соответственно, хранимые в нем данные.

Операторы для манипулирования топологией
 
 

1 Любой несвязный объект считается одним комплексом, и каждый комплекс может состоять из нескольких объемов и свободных ребер. Комплекс эквивалентен модели в представлении радиальных ребер.

Смотрите также