Приложение З. Объединение В-сплайнов

Чтобы получить новые задающие точки и узловые значения объединенной кривой, мы предположим, что объединяемые кривые имеют одинаковый порядок. В противном случае перед тем как выполнить объединение, нам придется изменить ту кривую, у которой порядок меньше, придав ей тот же порядок, что и у другой кривой (то есть мы будем находить узловые точки и узловые значения эквивалентной кривой боле высокого порядка). Эта процедура описывается в [38].

Обозначим уравнения первого и второго В-сплайна порядка k как Р1(u) и Р2(u), соответственно. Далее предположим, что P1(u) определяется задающими точками Qi (i = 0, 1,..., n) с узловыми значениями vi (i = 0, 1, „., n + k). Аналогичным образом, Р2(u) определяется задающими точками Ri (i = 0, 1...........................т) с узловыми значениями wi (i = 0, 1,..., т + k). Обратите внимание, что Qn — это то же самое, что и R0 (рис. 3.1).

Приложение З.  Объединение В-сплайнов
 
Тогда уравнения РДм) и Р2(и) могут быть записаны следующим образом:
 
Приложение З.  Объединение В-сплайнов
 
Приложение З.  Объединение В-сплайнов
Теперь определим задающие точки и узловые значения объединенной кривой (без вывода). Мы проверим результат, показав, что объединенная кривая в своих соответствующих частях представляет исходные кривые. Во-первых, множество задающих точек объединенной кривой Pj представляет собой простое объединение множеств задающих точек двух кривых:
 
Приложение З.  Объединение В-сплайнов
 
Обратите внимание, что R0 не фигурирует в уравнении (3.3), поскольку это то же самое, что и Qn.

Узловые значения объединенной кривой находятся путем слияния двух наборов узловых значений, после того как все узлы wi будут сдвинуты так, что w0 будет равняться vn+k. Нам известно, что сдвиг всех узлов на одно и то же расстояние не влияет на уравнение кривой, поскольку важность имеет только разность между узловыми значениями. При объединении двух наборов узловых значений некоторые из них, соответствующие точке сопряжения между двумя кривыми, исключаются, так что они будут повторяться только k — 1 раз. Если количество повторений больше, чем k - 1, получившаяся объединенная кривая не может рассматриваться как один В-сплайн и, таким образом, не удовлетворяет соотношению, определяющему число задающих точек, их порядок и количество узловых значений. Процесс получения узловых значений для объединенной кривой иллюстрирует рис. 3.2. Узловые значения wi сдвигаются на расстояние (vn+k - w0), так что узловое значение w0 становится равным vn+1, и из попарно равных узловых значений vn+1,..., vn+k и w1,..., wk-1 оставляются только (k - 1) узлов от vn+t до vn+k. Таким образом, узловые значения, которые будут использоваться для объединенной кривой, находятся, как показано штриховыми прямоугольниками на рис. 3.2, и могут быть выражены следующим образом:

Приложение З.  Объединение В-сплайнов
Приложение З.  Объединение В-сплайнов
 

Теперь убедимся, что объединенная кривая, которая определяется задающими точками и узловыми значениями, заданными формулами (3.3) и (3.4), совпадает с двумя исходными В-сплайнами в каждой из соответствующих частей. Рассмотрим часть кривой, соответствующую интервалу tn (= vn) и tn+l (= vn+1 = vn+2 = ... = = vn+k-1). Мы знаем, что Nn,1(u) — единственная функция сопряжения первого порядка, не убывающая в данном диапазоне и. Распространяя эффект Nn l(u) (рис. 6.5), мы найдем, что Nn-.k+l,k(u), Nn_kt2k(u) Nn,k(u) являются ненулевыми функциями сопряжения порядка k. Таким образом, кривая определяется задающими точками Рn-k+1, Рn-k+2...................... Рn. Эти задающие точки совпадают с точками Qn-k+2, ..., Qn. Далее, подмножество узловых значений объединенной кривой, участвующих в вычислении функций сопряжения Nn-k+1,k(u), Nn_k+2,k(u), ... Nn,k(u), будет совпадать со значениями, входящими в Рl(u). Из этого мы можем заклю- чить, что объединенная кривая Р(u) совпадает с Рl(ц) для значений и в интервале tn и tn+1. К тому же заключению мы придем в случае, когда и находятся между узловыми значениями, меньшими tn. Таким же образом можно показать, что Р(u) совпадает с Р2(u) при и tn+k.