qweqweqe123123

Пример

Рассмотрим одномерную задачу распространения тепла, представленную на рис. Л.1, а: температура стержня изменяется только в осевом направлении. Смоделировав стержень в виде совокупности линейных элементов с двумя узлами (рис. Л.1, б), вывести системные уравнения конечноэлементного анализа с использованием метода Галеркина. Теплопроводность материала равна k, коэффициент конвективного теплообмена равен h, окружающая температура равна Та, а интенсивность теплообразования в единице объема равна Q. Предположим, что излучательным теплообменом можно пренебречь.

Пример
 
 

Решение

Как можно узнать из большинства учебников по распространению тепла, основное уравнение для температуры Т в стержне имеет вид

Пример

Применяя метод взвешенных остатков, получаем

Пример

где n - это общее число узлов, а знак суммирования т обозначает суммирование по всем элементам.

Для конкретного случая метода Галеркина уравнение (Л.7) принимает вид

Пример

где матрица-столбец N — это матрица функций формы. Таким образом, (Л.8) представляет собой систему из п уравнений, каждое из которых соответствует одному из элементов N. Матрица функций формы была определена, когда было сделано предположение о распределении температуры в стержне:

Пример

где Т — это матрица-столбец температур в узловых точках.

Временно проигнорируем символ суммы в уравнении (Л.8), поскольку мы легко сможем произвести суммирование, когда выведем общее выражение для элемента т. Типичный элемент т соединяет узлы i и j с координатами Xi и Xj соответстенно (рис. Л.1, в). Исходя из этого, (Л.8) можно переписать так:

Пример

Обратите внимание, что элемент объема dv заменяется на A dx, где А — это площадь поперечного сечения в точке X.

Интегрируя первое слагаемое по частям и опустив постоянную площадь, получим                                                                                       •

Пример

Когда будет выполнено суммирование по всем элементам, первое слагаемое каждого элемента в уравнении (Л. 11), кроме первого и последнего, уничтожится, поскольку в следующий элемент входит такое же слагаемое с обратным знаком. Поэтому данное слагаемое достаточно вычислить только для элементов с номерами 1 и М, если считать, что элементы нумеруются последовательно, а М — это общее число элементов.

Чтобы вычислить это слагаемое для первого и последнего элемента, рассмотрим один из концов тела (рис. Л.2). Внешний поток тепла обозначен как qs, поток тепла, обусловленный теплопроводностью, — q„ а поток тепла за счет конвекции - qcv

Пример
 

Баланс энергии на этом конце тела дает

Пример

или

Пример
 
  Мы знаем, что ноток тепла, обусловленный теплопроводностью, согласно закону теплопроводности Фурье может быть выражен в виде

Пример 

Использу я формулы (Л. 12) и (Л. 13), можно вывести следующее выражение для Пример

 в уравнении (Л.11)1 при x = Xf

Пример
Аналогичное выражение получается для
Пример
Пример

Обратите внимание, что равенство (Л.14) выполняется только для последнего элемента, а равенство (Л. 15) — только для первого элемента, как было сказано ранее.

Подставляя уравнения (Л.9), (Л.14) и (Л.15) в уравнение (Л.11), получим:

Пример

Вынося Т за пределы интегрирования в уравнении (Л. 16), получаем следующее уравнение для элемента т:

Пример
где матрица жесткости элемента К' ' состоит из трех матриц жесткости, или матриц проводимостей:
 
Пример
а узловой вектор силы элемента f(m) состоит из четырех векторов силы:
 
Пример
 
Матрицы в уравнениях (Л.18) и (Л.19) определяются следующим образом:
 
Пример
 
Имея все матрицы жесткости и узловые векторы силы элементов, мы суммируем их, чтобы получить системную матрицу жесткости и узловой вектор силы в форме, данной в главе 8. Слагаемые с символом В в нижних индексах имеют ненулевые значения только для первого и последнего элементов суммы.
 
 

1 Поток тепла за счет конвекции qcv равен hj(T-Taj), где Taj — это окружающая температура при х = Xj. Более того, qs в точке х = Xj заменяется на д, в узле j. Вспомните, что точка х = Xj обозначает один из концов стержня.

 

Смотрите также