Приложение Л. Формулировка системных уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения

В разделе 8.2 мы рассматривали формулировку и решение системных уравнений конечноэлементного анализа непосредственно на основе интегрального уравнения, описывающего условие равновесия решаемой задачи. Однако большинство инженеров знакомы с уравнениями равновесия, выраженными в виде дифференциальных уравнений. Например, уравнения равновесия для задач, связанных с распространением тепла, вибрацией и потоком жидкости, обычно выражены в дифференциальной форме. В этом приложении мы опишем использование метода взвешенных остатков как одного из методов формулировки уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения1.

Метод взвешенных остатков (method of weighted residuals) — это численный мегод получения приближенных решений дифференциальных уравнений. Он состоит из двух шагов. Сначала выбирается приближенное решение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению и его геометрическим граничным условиям. Приближенное решение обычно дается в виде линейной комбинации известных функций с неизвестными коэффициентами. Эти известные функции эквивалентны функциям формы, а неизвестные коэффициенты эквивалентны смещениям узловых точек. Когда это приближенное решение подставляется в дифференциальное уравнение и граничные условия, получается ошибка, или остаток. Соответственно, решение исходного дифференциального уравнения эквивалентно устремлению этого остатка к нулю в некотором усредненном смысле во всей области решений. Отсюда возникают интегральные уравнения. На втором шаге интегральные уравнения решаются относительно неизвестных коэффициентов, и таким образом получается приближенное решение.

Рассмотрим каждый шаг несколько более подробно. Прежде всего будем считать, что основное дифференциальное уравнение имеет вид

Приложение Л. Формулировка системных уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения

в области континуума D. Допустим также, что граничные условия таковы:
 
Приложение Л. Формулировка системных уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения
 
Здесь φ — это зависимая переменная, относительно которой ищется решение, f— известная функция независимых переменных, L — линейный или дифференциальный оператор, а В — граница области D.

Начнем с того, что зададимся приближенным решением φа:

Приложение Л. Формулировка системных уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения
где Сi — это неизвестные коэффициенты, относительно которых ищется решение, a gi — принятые нами известные функции независимых переменных. Подстановка (Л.2) в (Л.1) дает ненулевое значение L(φa)-f, поскольку φа является приближенным решением. Обозначим это ненулевое значение как остаток R, выражаемый формулой
 
Приложение Л. Формулировка системных уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения
Чтобы минимизировать R во всей области решений, определим взвешенное среднее значение, которое должно стремиться к нулю во всей области:
Приложение Л. Формулировка системных уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения
где Wi — это весовые коэффициенты. Подставляя в уравнение (Л.4) п различных весовых коэффициентов, мы можем получить систему из п уравнений, из которой можно определить неизвестные Сi (i = 1, 2,.... п).

Эти весовые коэффициенты могут быть выбраны по различным критериям. В методе Галеркина, например, в качестве Wi используются известные функции gi из уравнения (Л.2). В этом случае система уравнений для метода Галеркина принимает вид

Приложение Л. Формулировка системных уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения
В примере Л.1 мы покажем, как использовать метод Галеркина для формулировки уравнений конечноэлементного анализа в задаче распространения тепла. Применение метода Галеркина к решению других типов задач описывается в [145].
 
 

Вариационный метод основан на минимизации соответствующего функционала, эквивалентного дифференциальному уравнению равновесия, и может быть использован для формулировки уравнений конечноэлементного анализа из основного дифференциально- го уравнения. Однако метод взвешенных остатков можно использовать даже в том случае, когда функционала, эквивалентного дифференциальному уравнению равновесия, не существует. Формулировка уравнений с помощью вариационного метода представлена в [166] и [145].