Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

Чтобы доказать формулу (6.43), сначала докажем справедливость следующего соотношения:

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна
 

Для доказательства (И.1) мы перепишем уравнения (6.32) и (6.33) более удобным образом:

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна
 

 и

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

Теперь выведем формулу (И.1), рассуждая по индукции. Иными словами, мы покажем, что уравнение (И.1) справедливо при r=k, если установлена его справедливость при r= к - 1. Мы также покажем, что равенство (И.1) выполняется при г= 2. В таком случае оно должно выполняться и при r = 3. Повторяя это индуктивное рассуждение с увеличением r, мы можем доказать, что формула (И.1) выполняется для всех r.

Первым делом покажем, что равенство (И.1) выполняется при r = 2. Подставляя r= 2 в (И.З), получим

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

 

Дифференцирование уравнения (И.4) дает
 

  Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

что эквивалентно уравнению (И.1) при r= 2. Предполагая, что (И.1) справедливо для r=k - 1, имеем

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

Теперь с помощью уравнения (И.5) нам необходимо показать, что уравнение (И.1) справедливо при r = k. Подставляя r = k в уравнение (И.З) и дифференцируя его по и, получим

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

 Возьмем выражения Ni,k_1(u) и Ni+1,k-1(и) из уравнения (И.5) и подставим их в уравнение (И.6):


  Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

Теперь перепишем второе слагаемое, прибавив и вычтя член

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна
 
и затем применив формулу (И.З):
 
Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

Наконец, добавив этот результат к первому слагаемому в формуле (И.7), получим:

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна
 

  Изменим порядок суммирования во втором и третьем слагаемом формулы (И.7):

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

 
Результат идентичен формуле (И.1).
Теперь докажем формулу (6.43) с помощью формулы (И.1). Перепишем производную первого порядка от кривой В-сплайна при условии, что значение параметра и находится в интервале tl и tl+1, следующим образом:
 
Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна
 
Из формулы (И.1) получаем:
 

  Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

Обратите внимание, что мы сократили диапазон суммирования в формуле (И.8), зная, что Nl-k, k-1(u) = 0 и Nl+1,k-1 (u)= 0 при tl и tl+1.

Замена (i + 1) на j во втором слагаемом формулы (И.8) даст

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

Таким образом, мы имеем

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна

где

Приложение И. Доказательство формулы дифференцирования В-сплайна