qweqweqe123123

Расчет объемных параметров

Мы уже отмечали, что одним из преимуществ объемной модели является возможность расчета объемных параметров тела непосредственно исходя из его математического описания. Первые системы твердотельного моделирования использовались главным образом для визуализации формы объекта, так что расчет объемных параметров был одной из немногих инженерных функций, поддерживавшихся этими системами. К объемным параметрам объекта относятся его объем, центр тяжести, моменты инерции и центробежные моменты инерции, кото- рые определяются следующим образом.

 Обьем:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Центр тяжести:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Моменты инерции:

Расчет объемных параметров

Центробежные моменты инерции:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Символ  ∫∫∫  обозначает интеграл по объему интересующего нас объекта. Эти определения станут определениями масс-инерционных свойств объекта, если включить в них его плотность. Плотность включать не обязательно, если она одинакова по всему объему объекта: в этом случае масс-инерционные параметры получаются из объемных умножением на постоянную плотность. Значение любого объемного параметра может быть получено вычислением интеграла вида:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Для воксельного представления и представления октантного дерева интеграл по объему сводится к обычному суммированию интегралов по отдельным вокселам или октантам. Таким образом, необходимо лишь научиться вычислять объемный интеграл от F(x, у, z) по одному вокселу или октанту. Поскольку эти объекты определяются восемью вершинами, интеграл по их объему может быть переписан в виде функции от координат вершин, а значение интеграла для любого воксела или октанта после этого будет вычисляться подстановкой координат его вершин в новую функцию. Значение объемного параметра для тела в целом после этого может быть получено суммированием значений для отдельных вокселов или октантов при помощи теоремы о параллельной оси [42]. Это позволяет учесть расстояние между началами координат локальной системы отдельного воксела и глобальной системы. Если объект представлен в виде дерева CSG, выполняется аналогичная процедура, заключающаяся в добавлении или вычитании объемных интегралов по примитивам (в зависимости от выбранной булевской операции). Если же объект представлен структурой B-Rep, вычислить объемный интеграл (5.2) оказывается ие так-то просто. Тиммер [153] предложил метод вычисления объемного интеграла для объекта произвольной формы в представлении B-Rep. Подход Тиммера выглядит следующим образом.

1. Объемный интеграл из формулы (5.2) преобразуется к поверхностному интегралу по граничной поверхности по теореме Гаусса. Теорема Гаусса выражается так [93].

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

где V — оператор градиента, раскрьшающийся в виде

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

где G(х, у, г) — функция координат, полученная перемножением Ф ∙ n.

∫∫ — поверхностный интеграл по фаничной поверхности объема V, а п — вектор внешней нормали в точке бесконечно малого участка ds поверхности S. Вообще говоря, п есть функция от х, у и z, поскольку этот вектор меняется при переходе от одного бесконечно малого объема к другому в процессе вычисления поверхностного интеграла. Подробные сведения о теореме Гаусса вы можете найти в учебниках по интефальному исчислению [93] и [68].

Применение теоремы Гаусса позволяет преобразовать объемный интеграл (5.2) к поверхностному, подставив функцию Ф(x, у, z), удовлетворяющую уравнению V ∙ Ф = F(x,y,z) в правую часть уравнения (5.3). Затем мы получаем возможность раскрыть (5.3) в

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Существует множество способов выбрать Ф(x,y,z) и, соответственно, множество вариантов G(х, у, z). Хотя эту функцию можно выбирать достаточно произвольной, рекомендуется все же пользоваться простыми по форме выражениями.

2. Граничная поверхность S из формулы (5.4) может рассматриваться как набор граней объекта Si. Поэтому интеграл по всей поверхности преобразуется в сумму по отдельным граням:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

    3. Каждый из поверхностных интегралов φ, в формуле (5.5) может быть преобразован в двойной интеграл по области изменения параметров, определяющих уравнение поверхности грани Si. Если быть более точным, двойной интеграл запишется так, как показано ниже, при условии, что уравнение поверхности для грани 5, имеет вид Р(и, v) = х(и, v)i + у(и, u)j + z(u, v)k1.

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

где Ri — конечная область плоскости uv, соответствующая Si, a |J| — это якобиан. Якобиан компенсирует разницу между бесконечно малым участком dи бесконечно малой областью параметрического пространства dudv. Опреде-
ляется якобиан так:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Подынтегральное выражение в формуле (5.6) может быть представлено в виде функции Н(u, v) от переменных и и v заменой правой части уравнения (5.7) для │J│. Тогда из уравнения (5.6) получим2:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Если область R, представляет собой квадрат, описываемый неравенствам О ≤ u ≤1 и 0 ≤ v ≤1, то двойной интеuhал в уравнении (5.8) можно оценить чиc ленно при помощи квадратуры Гаусса:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Как видно из формулы (5.9), квадратура Гаусса может использоваться для оценки интеграла путем выборки некоторых значений, присваивания им весов и суммирования с учетом этих весов. Точность результата, таким образом, зависит от размеров выборок n и m, а также от значений параметров. Рекомендуемые значения и и v, а также веса для конкретных значений т иприведены в табл. 5.2. Другие значения n и m требуют использования других групп. Квадратура Гаусса может использоваться только для интегралов, диапазон значений которых лежит в интервале от 0 до 1.

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

  <strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

4. Грань Si не всегда отображается на квадрат. У этой грани может быть более четырех криволинейных границ и множество внутренних отверстий. Область общего вида, на которой вычисляется двойной интеграл (5.8), может выглядеть так, как показано на рис. 5.43. Двойной интеграл на области неправильной формы нельзя вычислять методом квадратуры Гаусса. Однако его можно преобразовать в контурный интеграл вдоль границ области неправильной формы по теореме Грина:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

где под символом ƒ понимается контурный интеграл по замкнутой границе области Ri. Для многосвязной области, подобной изображенной на рис. 5.43, интеграл распадается на сумму контурных интегралов по внешней границе и внутренним границам. Направление внутренней границы, обозначаемое С1(t), противоположно направлению внешней границы C2(t), чтобы интеграл по контуру С, автоматически вычитался при суммировании.

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Чтобы воспользоваться формулой (5.10), нам нужно определить a(u,v) и β(u, v), удовлетворяющие уравнению

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Существует множество комбинаций a (u,v) и β(u,v), удовлетворяющих уравнению (5.11). Один из простейших наборов a (u,v) и β(u,v) можно получить,положив  β(u,v) = 0:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Однако нелегко получить H(и, v) и a(u,v) в явном виде, если уравнение поверхности Si задано в такой форме, которую нелегко раскрыть, например в виде уравнения В-сплайна. Тиммер обошел эту проблему, приблизив H(u, v) полиномом от и и v по численным значениям H(u, v). Тогда эта функция может быть выражена следующим образом:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Подстановка (5.13) в (5.12) дает следующее выражение:

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Отсюда формулу (5.8) можно раскрыть в форме

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

5. Контурный интеграл по замкнутой границе может быть разложен в сумму интегралов по каждому из сегментов кривой. Следовательно, уравнение можно переписать в виде

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

где интеграл — интеграл по сегменту криволинейной границы, взятый в направлении обхода всей границы (см. шаг 4), а   <strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>  - суммирование по всем сегментам границы.

Любой сегмент криволинейной границы области uv может быть задан приведенным ниже параметрическим уравнением3.

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

Подставляя (5.17) в (5.16), получим

<strong><strong>Расчет объемных параметров</strong></strong>

где каждый интеграл, стоящий под знаком суммирования, может быть взят точно по уравнению кривой каждого из сегментов или приближенно при помощи квадратуры Гаусса.

 

 


Различные формы Р(u,v) для разных поверхностей рассматриваются в главе 7.

2 Поскольку площади выражаются через двойные интегралы, подход, использованный для вычисления выражения (5.8), может использоваться и для расчета поверхностных свойств.

     3 Параметрические уравнения различных кривых рассматриваются в главе 6.

Смотрите также