В-сплайновая поверхность

Подобно тому как от уравнения кривой Безье мы перешли к уравнению поверхности Безье, мы можем перейти и от уравнения В-сплайна к уравнению В-сплайновой поверхности:

 

В-сплайновая поверхность

где Рij — задающие точки, расположенные в вершинах задающего многогранника, как и для поверхности Безье, a Ni,k(u) и Nj,l(v) — функции сопряжения, используемые для построения В-сплайнов. Эти функции сопряжения определяются узловыми значениями s0, s1, ..., sn+k и t0, t1, ..., tl+m соответственно. Диапазоны параметров используются в определении В-сплайна, поскольку функции сопряжения Ni,k(u) и Nj,l(v) определены только на этих интервалах, что уже демонстрировалось в главе 6. Это верно как для периодических узлов, так и для непериодических. Мы будем рассматривать только непериодические узлы по тем же причинам, что и раньше. В этом случае функции сопряжения В-сплайна будут совпадать с функциями сопряжения поверхности Безье, если k = n +1, l = т+ 1. Поэтому можно утверждать, что поверхность Безье является лишь частным случаем В-сплайновой поверхности, а уравнение (7.32) описывает как поверхности Безье, так и В-сплайновые. Чаще всего порядки k и / принимаются равными 4, поскольку степени уравнений, описывающих поверхности, не должны превышать 3.

В-сплайновая поверхность с непериодическими узлами обладает свойствами, напоминающими поверхность Безье (например, четыре угла задающего многогранника лежат на поверхности, а граничные кривые представляют собой В-сплайны, определяемые соответствующими подмножествами задающих точек). Покажем, что значению параметра и = 0 соответствует граничная кривая, являющаяся В- сплайном. Подстановка и = 0 в уравнение (7.32) дает1

В-сплайновая поверхность

В соответствии с формулой (7.33), граничная кривая при и = 0 является В-сплай- ном с задающими точками Р0,0, Р0,1,.... Р0,m Аналогичным образом можно показать, что и остальные граничные кривые являются В-сплайнами, а их задающие точки являются крайними вершинами задающего многогранника.

 


1 При выводе (7.33) использовался тот факт, что [ ∑ni=0PiNi,k(u)]u=00.

Смотрите также