Поверхность Безье

Можно расширить концепцию кривой Безье, определяемой задающим многоугольником, на одно измерение, в результате чего получится поверхность Безье, определяемая задающим многогранником. Уравнение поверхности Безье выглядит следующим образом:

Поверхность Безье

где Pi,j — радиус-векторы задающих точек, находящихся в вершинах задающего многогранника (рис. 7.4), a Bi,n и Bj,m — функции сопряжения, обычные для кривых Безье. Таким образом, степень уравнения поверхности по и и v определяется количеством задающих точек в соответствующих направлениях.

Уравнение (7.22) можно раскрыть, записав сумму по j в явном виде:

Поверхность Безье

Уравнение (7.23) иллюстрирует, что поверхность Безье получается сопряжением n + 1 кривых Безье, каждая из которых определяется задающими точками Рi,0, Pi,1, Рi,2..... Рi,m, сопрягаемыми функциями Вi,n(и). Можно показать, что та же поверхность Безье получается при сопряжении т + 1 кривых Безье, определяемых задающими точками P0,j, Р1,j,.Р2,j,... , Pn,j и функциями Bj,m(v). Итак, поверхность Безье получается, если задающие точки кривой Безье заменить кривыми Безье.

Поверхность Безье

Займемся исследованием свойств поверхности Безье. Сначала нужно показать, что четыре угловые задающие точки задающего многогранника лежат на поверхности Безье. Для этого мы подставим граничные значения параметров и и v в уравнение (7.22). Подстановка и = 0 и v = 0 дает:

Поверхность Безье

Равенство (7.24) показывает, что задающая точка Р0,0 лежит на поверхности и соответствует значениям параметра и = 0, v = 0. Та же процедура позволяет про- верить, лежат ли остальные угловые задающие точки (Рn,0, Po,m, Рn,m) на поверхности.

В дополнение к этому мы можем показать, что граничные кривые поверхности Везье также являются кривыми Безье, определяемыми соответствующим коли- чеством задающих точек. Подставим и = 0 в уравнение (7.22), чтобы получить сравнение одной из граничных кривых.

Поверхность Безье

Уравнение (7.25) говорит нам о том, что граничная кривая, соответствующая значению параметра и = 0, является кривой Безье с задающими точками Р0,0, Р0,1,.... , Ро,m. Аналогичным образом можно показать, что оставшиеся три граничив кривые также являются кривыми Безье, а их задающие точки являются крайними вершинами задающего многогранника. Поскольку вектор касательной на конце кривой Безье определяется соседней с концом задающей точкой, векто- ры касательных в направлении v в точках Р0,0 и Р0,m определяют точки Р0,1 и Р0,m-1, соответственно. Следовательно, Р0,1 и Р0,m-1) играют ту же роль, что и Pv(0,0) и Рv(0,1) для бикубического лоскута. Если с этой точки зрения подойти к поверхности Безье степени 3 по и и v (см. рис. 7.4), можно сделать следующее утверждение. Задающая точка Р1,0 играет ту же роль, что и Рц (0,0) для бикубиче- ского лоскута, Р2,0— ту же, что Рu(1,0), Р1,3— ту же, что Рu(0,1), Р2,3 — ту же, что Pu(1,1), Ро.1 - ТУ же, что Рv(0,0), Р0,2 - ту же, что Рv.(0,1), P3,1, - ту же, что Рv(1,0), Pз,2 - ту же, что Рv(1,1). Следовательно, эти восемь задающих точек вместе с че- тырьмя угловыми задающими точками опрделяют граничные кривые поверхно- сти. Оставшиеся четыре задающие точки Р1,1, Р2,1, Р1,2, Р2,2 определяют форму внутренней области поверхности подобно векторам кручения бикубического лоскута.

Мы уже отмечали, что степень поверхности Безье определяется количеством за- дающих точек. Уравнения поверхностей высоких степеней страдают теми же недостатками, что и уравнения кривых высоких степеней, поэтому при моделировании поверхностей обычно используются поверхности Безье степени 3 по и и v, точно так же как при моделировании кривых использовались кривые Безье степени 3. При необходимости смоделировать сложную поверхность приходится создавать несколько поверхностей Безье третьей степени и соединять их друг с другом. Поверхности должны соединяться таким образом, чтобы обеспечивалась непрерывность на границе, по которой осуществляется соединение. Это достигается наложением ограничений па задающие точки, расположенные слева и справа от границы. Ограничение состоит в том, что эти точки должны лежать на прямой линии, проходящей через задающую точку, лежащую на общей границе (рис. 7.5). Если это требование выполняется, первая производная оказывается непрерывной во всех точках границы [72, 138, 46].

Поверхность Безье

Смотрите также