qweqweqe123123

Лоскут Куна

Сопряжение углов дает билинейную поверхность. Сопряжение граничных кривых произвольной формы дает поверхность, называемую лоскутом Куна (Coons patch). Слово «лоскут» указывает на то, что описываемая поверхность представляет собой сегмент, соответствующий значениям параметров 0 ≤ u ≤1, 0≤ v ≤1. Комбинирование лоскутов позволяет образовать поверхность произвольной формы и размера.

Уравнение лоскута Куна выводится следующим образом. Предположим, что нам известны уравнения четырех граничных кривых: Р0(v), Р1(v), Q0(u) и Q1(u) (рис. 7.2). Предположим также, что направление кривых Q0(u) И Q1 (u) совпадает (на рис. 7.2 эти кривые направлены вправо, что обозначено стрелкой). То же предположение мы выскажем и относительно Р0(v) и Р1 (v).

Лоскут Куна

Если граничные кривые не удовлетворяют этим требованиям, вам придется выполнить преобразование их к описанному выше виду. Направление и интервал изменения параметра легко изменить инверсией или масштабированием [120]. Удовлетворяющие описанным требованиям кривые интерполируются так, как показано ниже.

Выберем две кривые, расположенные друг напротив друга, например Р0(v) и Р1(v). Интерполяция этих кривых в направлении и осуществляется линейным уравнением

Лоскут Куна

Поверхность, определенная уравнением (7.8), будет ограничена кривой Р0 (v) при и = 0 и кривой Р1 (v) при и = 1. Однако две другие границы будут отрезками прямых, соединяющих угловые точки. Убедиться в этом можно, подставив в уравнение (7.8) v = 0 или v=1. Таким образом, полученная поверхность не ограничивается кривыми Q0(u),Q1 (и).

Определим вторую поверхность, интерполируя Q0(u) и Q0(v) в направлении о:

Лоскут Куна

Подставляя граничные значения и и v в уравнение (7.9), можно убедиться, что новая поверхность ограничивается кривыми Q0(u) и Q0(v), но не Р0(v) или Р1(v). Попробуем определить еще одну поверхность P3(u,v), сложив Р1 (и, v) и Р2(u,v), и проверим, не будет ли она ограничиваться требуемыми кривыми.

Лоскут Куна

Подстановка граничных значений и и v в (7.10) дает:

Лоскут Куна

Лоскут Куна

Лоскут Куна

Лоскут Куна

Если Р3(u,v) удовлетворяет поставленным требованиям к граничным кривым, правые два слагаемых в уравнениях (7.11)-(7.14) должны быть равны нулю. Заметьте, что эти слагаемые представляют собой интерполяцию конечных точек соответствующих граничных кривых. Другими словами, слагаемые, которые должны быть равны нулю, описывают границы билинейной поверхности. Следовательно, правильное выражение для лоскута Куна получается вычитанием уравнения билинейной поверхности из Р3(u,v):

Лоскут Куна

Благодаря простоте концепции и уравнений лоскут Куна использовался достаточно широко. Однако он непригоден для точного моделирования поверхностей, поскольку форма поверхности не может задаваться одними лишь ее границами.

Смотрите также