Типы уравнений

Уравнения кривых могут быть разделены на два основных типа. К первому типу относятся параметрические уравнения, описывающие связь координат х, у и z точки кривой с параметром. Ко второму типу относятся непараметрические уравнения, связывающие координаты х, у и г некоторой функцией. Проще всего продемонстрировать различие между ними на примере. Рассмотрим окружность радиуса R, расположенную в начале системы координат. Если окружность лежит в плоскости ху, ее параметрическое уравнение может быть, например, таким:

Типы уравнений

Ту же окружность можно описать уравнением и без параметра G:

Типы уравнений

или

Типы уравнений

Уравнение (6.2) задает окружность в неявной непараметрической форме, а уравнение (6.3) — в явной непараметрической форме.

У каждого типа уравнении, примеры которых приведены выше, есть свои преимущества и недостатки, определяющие удобство их применения для различных целей. Мы сосредоточим внимание на применении уравнений к отображению кривых, поскольку интерактивная графика является одной из важнейших функций САПР. Кривая, отображаемая на экране, в действительности представляет собой набор коротких отрезков. Поэтому постоянно возникает необходимость вычислять координаты точек кривой, находящихся на равном расстоянии друг от друга. Это называется вычислением кривой (curve evaluation). Можно ожидать, что точки окружности, заданной уравнением (6.1), могут быть получены подстановкой последовательных значений параметра, отличающихся друг от друга на небольшую величину. При использовании уравнения (6.2), однако, мы не знаем, какую переменную следует выбрать в качестве независимой и последовательно увеличивать от точки к точке. Даже если мы выберем независимую переменную, для каждого ее значения мы будем получать два значения зависимой переменной. Это означает, что нам придется выбирать одну из них таким образом, чтобы она располагалась по соседству с предыдущей найденной нами точкой. Уравнение (6.3) обладает тем же недостатком, несмотря на то, что в нем независимая переменная уже выделена.

Из-за перечисленных недостатков непараметрического представления в системах автоматизированного проектирования чаще всего используются параметрические уравнения кривых и поверхностей1, поэтому в данной главе мы будем обсуждать только их.

 


1 В некоторых случаях точки пересечения кривых удобно искать, если одна из кривых задана в параметрической форме, а другая — в ненараметричсскои. Поэтому в отдельных системах используется преобразование уравнений из параметрической формы в непараметрическую и обратно. Это преобразование рассматривается в книге [69].

Смотрите также