qweqweqe123123

Пример

Записать уравнение непериодичного однородного В-спдайна третьего порядка с задающими точками Р0, Р1,......, Р5 в полиномиальной форме и продемонстрировать свойство локальности изменений.

Решение

По формуле (6.35) определяем узловые значения

 t0 = 0, t1 =0, t2 =0, t3=1,  t4 = 2,  t5=3,  t6=4,  t7=4,  t8=4

Параметр и меняется от 0 до 4. Воспользуемся формулой (6.33) для получения функций сопряжения первого порядка  - Ni,1(u):

Пример

Функции N0,l(u) и N1,1(u) мы не рассматриваем, выбирая N2,1(u) в качестве единственной отличной от нуля при u = 0. По той же причине не рассматриваются N6,1(u) и N7,1(u). Теперь вычислим нетривиальные функции сопряжения второго порядка по формуле (6.32):

Пример

Аналогичным образом вычисляются функции сопряжения третьего порядка.

Пример

Пример

Таким образом, уравнение В-сплайна в раскрытой полиномиальной форме имеет вид:

Пример

Форма выражения (6.38) заставляет предположить, что любая задающая точка влияет на форму всей кривой. Однако если записать это уравнение отдельно для каждого отрезка значений параметра и, станет видно, что на каждый сегмент влияет лишь ограниченное подмножество задающих точек всей кривой.

Рассмотрим отрезок 0 и 1. Пусть Р1(u) обозначает уравнение соответствующего участка кривой (то есть первого ее сегмента). Для значений параметра и от 0 до 1 только одна функция первого порядка будет отлична от нуля и равна единице - N2,1 Поэтому формулу (6.38) на этом отрезке можно записать следующим образом:

Пример

Аналогичным образом можно получить Р2(u) для отрезка 1 и 2, оставив только те слагаемые, в которые входит N3,1(u):

Пример

 

Тем же способом получим и запишем выражения для участков Р3(u) и P4(u), соответствующих отрезкам значений параметра 2 и 3 и 3 и 4.

Пример

Присваивая нужные значения задающим точкам Р0, P1,..., Р5, мы можем нарисовать все сегменты В-сплайна по формулам (6.39)-(6.42). Один из возможных подходов продемонстрирован на рис. 6.6. Обратите внимание на важные особенности В-сплайнов, проявляющиеся на рис. 6.6.

Пример

□   Любой В-сплайн представляет собой составную кривую, состоящую из нескольких разных кривых (в нашем примере — Р1(u), Р2(u), Р3(u), Р4(u)). Эти кривые соединяются в узловых точках параметра. В этом примере в точках соединения выполняются следующие равенства: Р1'(1) = P2' (1), Р2' (2) = Р3 ' (2) и Рз'(3) = Р4'(3). Убедитесь в этом, вычислив производные выражений (6.39)- (6.42). Эти равенства означают непрерывность первой производной в точках соединения сегментов кривой. Тем же методом можно заключить, что непрерывность второй производной в этих точках нарушается. Это следует уже из того, что степень уравнений (6.39)-(6.42) равна 2. Производные В-сплайна непрерывны вплоть до порядка k - 2, потому что степень уравнения каждого сегмента равна k - 1. Например, у В-сплайна четвертого порядка непрерывными в точках касания сегментов будут первая и вторая производные.

□   На каждый сегмент кривой влияют k задающих точек. Это следует из уравнений (6.39)-(6.42). Первые k задающих точек определяют форму первого сег- мента, следующие к (начиная со второй) — форму второго сегмента, и т. д. Последние к точек определяют форму сегмента п - k + 2 (рис. 6.7).

□ Рисунок 6.7 демонстрирует, что одна задающая точка может влиять не более чем на k сегментов. Проверить это утверждение можно, подсчитав количество групп, содержащих, например, точку Pk-1. Мы заключаем, что каждая точка влияет не более чем на k соседних сегментов. Это и есть свойство локальности изменений.

Пример

Смотрите также