qweqweqe123123

Пример

Записать уравнение непериодичного однородного В-сплайна третьего порядка в полиномиальной форме. Задающие точки кривой: Ро, Pi и Р2.

 

Решение

По формуле (6.35) узлы ti имеют следующие значения:

 t0 = 0, t1 =0, t2 =0, t3=1,  t4 = 1,  t5=1.

Параметр и меняется от 0 до 1. Воспользуемся формулой (6.33), чтобы получить функции сопряжения первого порядка — Ni,1(u):

Пример

Пример

Мы должны выбрать, какая из трех функций N0.1(u), N1.1 (u) и N2,1(u) будет иметь ненулевое значение при и = 0. Пусть это будет функция N2.1(u)). Аналогично, выберем ту же функцию N2.1(u) в качестве ненулевой в точке и = 1. Таким образом, N2.1(u) становится единственной ненулевой функцией сопряжения первого порядка для диапазона значений параметра [0,1], причем на всем этом диапазоне она постоянна и равна единице.

Теперь получим нетривиальные функции сопряжения второго порядка по формуле (6.32)1:

Пример

Аналогичным образом получим функции сопряжения третьего порядка:

Пример

Итак, раскрытое в полиномиальной форме уравнение В-сплайна имеет вид:

Пример

Уравнение кривой Безье с задающими точками Р0, Р1, и Р2 тоже можно записать в полиномиальной форме:

Пример

Сравнивая формулы (6.36) и (6.37), можно прийти к выводу, что непериодический однородный В-сплайн третьего порядка с задающими точками Р0, Р1, и Р2 совпадает с кривой Безье, определяемой теми же задающими точками. Верно и более общее утверждение: непериодический однородный В-сплайн совпадает с кривой Безье с теми же задающими точками, если порядок k совпадает с количеством задающих точек п + 1. Другими словами, кривая Безье представляет собой частный случай В-сплайна.

 


1  В выражении для N1.2(u) первый член cN1.1 равен нулю, поскольку он представляет собой неопределенность вида 0/0.

 

Смотрите также