Пример

Вычислить первую производную от В-сплайна в его конечных точках, используя формулы (6.43) и (6.44). Порядок В-сплайна равен k, а его задающие точки Р0, Р1,..., Рn.

 

Решение

Начальной точке В-сплайна соответствует значение параметра t0 = t1 = ... = tk-1, а нас интересует первый сегмент, которому соответствует отрезок значений параметра tk-1 и tk. Мы получим значение производной в начальной точке, подставив k - 1 вместо l и tk- 1 вместо и в уравнение (6.43):

Пример

Выражение в правой части равенства имеет вид уравнения В-сплайна, а значение и = tk-1 соответствует начальной точке кривой. Следовательно, сумма ∑k-1i=1 Pi' Ni,k-1(tk-1) должна быть равна вектору координат первой задающей точки Рi'. Отсюда первая производная исходного В-сплайна в начальной точке имеет значение:

Пример

Производная на втором конце кривой вычисляется тем же методом. Парамет] в конечной точке имеет значение tn+1, а интересующему нас сегменту соответ ствует отрезок значений параметра tn и tn+1- Подстановка п вместо 1 в уравне ние (6.43) дает:

Пример

В правой части снова получилось уравнение В-сплайна, а значение и = tn+1 соответствует конечной точке кривой. Отсюда, сумма ∑ni=n-k+2Pi'Ni,k-1(tn+1) совпадает с координатами последней задающей точки Рn'. Производная первого порядка от исходной кривой в таком случае имеет следующий вид:

Пример

В изложенном примере мы продемонстрировали еще одно важное свойство В- сплайна: вектор касательной в начальной или конечной точке совпадает по направлению с первым или последним ребром задающего многоугольника Для кривых Безье это свойство было доказано еще раньше.

Смотрите также