Интерполяция эрмитовой кривой

Основная идея данного метода заключается в том, что каждый сегмент между соседними точками представляется в виде эрмитовой кривой. Поскольку степень такой кривой равна 3, этот подход аналогичен использованию сплайна (рис. 6.9) для проведения кривой по заданным точкам.

Интерполяция эрмитовой кривой

Сплайн, проведенный через заданные точки, имеет физический аналог — балку с подпорками в тех же заданных точках (рис. 6.10). Форма любого сегмента между ближайшими опорами определяется уравнением балки:

Интерполяция эрмитовой кривой

Интерполяция эрмитовой кривой

Уравнение (6.54) является дифференциальным, ему должна удовлетворять нейтральная линия балки, находящейся под влиянием силы реакции Qo и момента М0, приложенных к левой опоре. Здесь под Е понимается модуль Юнга материала, из которого изготовлена балка, а I — момент инерции ее поперечного сечения1. Двойное интегрирование уравнения (6.54) дает функцию у(x), степень которой равна 3. Поэтому для описания сегментов кривой между точками может использоваться эрмитова кривая.

Выведем уравнение эрмитовой кривой для всех сегментов при условии, что мы знаем координаты точек Р0, Р1,. ... , Рn. Эти п + 1 точек дадут нам п эрмитовых кривых, которые мы обозначим буквами Р1(u), Р2(u),..., Рn(u) (рис. 6.11).

Интерполяция эрмитовой кривой

Эрмитова кривая под номером i может быть записана с использованием уравнений (6.10) и (6.12):

Интерполяция эрмитовой кривой

Здесь Р'i-1, и Р'i — векторы касательных в точках Рi-1 и Рi соответственно. Уравнение для конкретного сегмента получается подстановкой конкретного значения i в общее уравнение. Для каждого сегмента параметр изменяется от 0 до 1.

При попытке воспользоваться уравнением (6.55) мы столкнулись бы с одним затруднением: коэффициенты Р'i-1, и Р'i обычно не указываются. Поэтому нам нужно изменить уравнение (6.55) так, чтобы они в нем и не появлялись. Чтобы иметь возможность вычислить производные Р'i-1, и Р'i по самим данным, нам нужно наложить граничное условие, гарантирующее непрерывность производной второго порядка в точках соединения сегментов кривой:

Интерполяция эрмитовой кривой

Подстановка (6.55) в (6.56) дает

Интерполяция эрмитовой кривой

Первая строка в уравнении (6.57) получается двойным дифференцированием уравнения (6.55) и подстановкой значения и = 1. Вторая строка получается тем же путем после получения выражения для Рi+1(u) после подстановки i + 1 вместо i в уравнение (6.55). Упрощение (6.57) дает следующее выражение:

Интерполяция эрмитовой кривой

Подставляя в уравнение (6.58) все значения i от 1 до п - 1, мы получим приведенное ниже матричное уравнение:

Интерполяция эрмитовой кривой

Если нам известны значения Р'0 и Р'n из правой части уравнения (6.59), мы можем найти значения п - 1 неизвестных переменных Р1', Р'2,...,Р'n-1.,. Получив значения всех производных, мы можем подставить их в уравнение (6.55) и получить, таким образом, полностью определенную эрмитову кривую.

Осталось определить Р'0 и Рn', то есть векторы касательных на концах кривой. Для этого обычно выбирают один из двух методов, однако от этого выбора зависит форма интерполяционной кривой. В первом случае конструктор задает на- правления касательных вручную. Говорят, что на кривую накладывается условие жестко закрепленных концов. Второй метод состоит в предположении об отсутствии крутящих моментов на концах балки. Это эквивалентно присваиванию Р'0 и Р'n нулевых значений, поскольку вторая производная пропорциональна крутящему моменту. Отсюда получаются приведенные ниже дополнительные уравнения, выражающие заданное ограничение:

Интерполяция эрмитовой кривой

Интерполяция эрмитовой кривой

Упрощение выражений (6.60) и (6.61) дает:

Интерполяция эрмитовой кривой

Перепишем матричное уравнение (6.59), переставив Р'0 и Р'n в левую часть и добавив уравнения (6.62) и (6.63) в начало и конец матрицы соответственно. В результате получится новое матричное уравнение:

Интерполяция эрмитовой кривой

Уравнение (6.64) позволяет найти п + 1 неизвестных: Р'0, Р'1,.... Р'n.

Различия между двумя интерполяционными кривыми, построенными по одним и тем же точкам, иллюстрирует рис. 6.12: у одной кривой конец жестко закреплен, а у другой — свободен. Обратите внимание, что интерполяционная кривая со свободными концами как бы «распрямляется» вблизи них.

Интерполяция эрмитовой кривой

 


1 Вывод уравнения (6.54) можно найти в любом учебнике по сопротивлению материалов.

Смотрите также