qweqweqe123123

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Часто приходится вычислять не только значения координат точек, лежащих на кривой, но и значения первой производной, а также и производных более высокого порядка. Например, производные первого и второго порядка могут потребоваться для определения кривизны кривой. Производная первого порядка необходима также для вычисления точки пересечения кривых по итерационному методу Ньютона— Рафсона1 [39].

В этом разделе мы получим выражение для производных кривой Безье. Эти выражения показывают соотношения между производными кривой и задающими ее точками. Перепишем выражение (6.16) в виде

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Продифференцируем выражение по параметру u10:

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Множители

Дифференцирование уравнения кривой Безье

и

Дифференцирование уравнения кривой Безье

в формуле (6.21) могут быть расписаны в явном виде следующим образом:

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Подстановка (6.22) и (6.23) в (6.21) дает:

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Заменив Рi+1 - Р на аi, выразим формулу (6.24) в виде

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Правая часть формулы (6.25), если забыть о множителе п, стоящем перед знаком суммирования, представляет собой уравнение кривой Безье, заданной точками а0, а1,       аn-1. Отсюда получаем следующие равенства:

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Равенства (6.26) и (6.27) выражают тот факт, что кривая Безье проходит через первую и последнюю задающие точки.

Из формул (6.25), (6.26) и (6.27) можно получить значения первой производной в начальной и конечной точках:

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Дифференцирование уравнения кривой Безье

Поэтому можно утверждать, что касательные к кривой Безье в ее начальной и конечной точках совпадают по направлению с первым и последним отрезками задающего многоугольника. Кроме того, формула (6.25) может использоваться для рекурсивного определения производных более высоких порядков, поскольку ее правая часть совпадает по форме с уравнением кривой Безье. Отсюда выражение для второй производной имеет вид

Дифференцирование уравнения кривой Безье

где bi = аi+1 - аi. Выражение (6.30) говорит нам, что вторая производная в начальной точке определяется векторами Р0, Р1, P2, а в конечной точке — векторами Рn-2, Рn-1, Рn. Продолжая дифференцировать уравнение (6.30), мы будем тем же путем получать уравнения для производных более высоких порядков. Таким образом, мы можем показать, что производные порядка r в начальной и конечной точках определяются координатами r + 1 задающих точек.

 


1  Метод расчета точек пересечения кривых излагается в разделе 6.8.

Смотрите также