Внутренние штрафные функции

Метод внутренних штрафных функций предполагает решение задач с ограничениями-неравенствами через последовательность задач оптимизации без ограничений, решения которых строго удовлетворяют ограничениям, то есть находятся внутри области допустимых значений. Это гарантируется барьерной функцией (barrier function), которая устанавливает бесконечно большой штраф за пересечение границы области допустимых значений изнутри. Поскольку алгоритм требует, чтобы внутренняя часть области допустимых значений была не пуста, он не может использоваться для обработки ограничений-равенств1.

Итак, рассмотрим задачу оптимизации

Внутренние штрафные функции

при условиях

Внутренние штрафные функции

Хорошая барьерная функция, создающая «стены» на границах области допустимых значений, имеет следующий вид:

Внутренние штрафные функции

Заметьте, что значения В(Х) стремятся к плюс бесконечности при приближении X к границе области изнутри, благодаря чему В(Х) и называется барьерной функцией. Чтобы учесть все т ограничений (9.14), мы можем просто поставить в формуле (9.15) знак суммирования по i. Как и для метода внешних штрафных функций, дополненная целевая функция определяется выражением

Внутренние штрафные функции

 где р — положительное число. Метод внутренних штрафных функций требует решения последовательности задач оптимизации без ограничений для k = 0. 1.2.... причем сами задачи даются формулой

Внутренние штрафные функции

где последовательность положительных рk строго убывает. Оптимальные значения Xk для рk будут сходиться к реальным оптимальным значениям X' при стремлении рk к нулю. Продемонстрируем эту сходимость на следующем примере.

 


1 Если задача требует учета ограничений-равенств, пользуются методом смешанных штрафных функций, согласно которому в дополненную целевую функцию добавляются внешние штрафные функции для ограничений-равенств и внутренние штрафные функции для ограничений-неравенств.

Смотрите также