Пример

Найти минимум функции F(x) = х2 (x ε R) при условии х - 1 ≥ 0. Оптимальное решение очевидно: x* = 1, поэтому нам нужно только показать, что решение, полученное методом внешних штрафных функций, стремится к тому же числу.

 

Решение

Построим дополненную целевую функцию, используя выражение (9,12) с α = 2. Мы получим задачу оптимизации без ограничений:

Пример

 

Здесь 5 равно 1 при х < 1 и 0 для прочих х.

Для любого положительного рk функция D выпукла вниз (рис. 9.1) и ее минимум находится в точке

Пример

Заметьте, что для любого положительного рk эта точка не удовлетворяет ограничению исходной задачи, поскольку значение х оказывается меньше единицы. При стремлении рk к нулю последовательность точек хk стремится к х = 1 извне разрешенной области значений х. На практике описанная процедура выполняется численным алгоритмом. Любой численный алгоритм останавливается при удовлетворении некоторого критерия сходимости, поэтому решение, найденное методом внешних штрафных функций, будет оптимальным, но не удовлетворяющим ограничению исходной задачи. Это внутренняя проблема самого метода внешних штрафных функций, который вообще действует только в том случае, когда ограничения нарушаются (ведь штрафные функции являются внешними по отношению к области допустимых значений).

Пример

Смотрите также