qweqweqe123123

Постановка задачи

Оптимизация конструкции требует ее параметризации, дающей возможность рассматривать альтернативные конструкции, изменяя значения параметров. Например, при разработке цилиндрического сосуда для хранения газов под давлением параметрами были бы средний диаметр, толщина, высота и используемый материал. Различные наборы значений параметров будут давать разные сосуды. В зависимости от ситуации некоторые параметры могут не иметь степеней свободы из-за ограничений. Например, у нас может быть только один материал, так что для оптимизации сосуда остались бы только средний диаметр, толщина и высота. Мерой качества сосуда может быть максимально допустимое давление, поделенное на вес. Средний диаметр, толщина и высота будут варьируемыми параметрами конструкции. Можно попытаться найти оптимальное сочетание параметров, которое приведет к максимальному значению показателя качества. Показатель качества может быть выражен в виде функции параметров, если мы воспользуемся знаниями, полученными при изучении сопротивления материалов. Оптимизируемые параметры называются переменными оптимизации (optimization variables), а показатель качества, вычисляемый по этим переменным, называется целевой функцией (objective function). Очевидно, что переменные оптимизации и целевая функция выбираются конструктором в соответствии с тем, для чего предназначается его творение.

Оптимизацию конструкции можно описать на математическом языке. Обозначив переменные оптимизации символом X (n-мерный вектор, компонентами которого являются переменные оптимизации), а целевую функцию символом F(X), мы можем записать задачу просто: минимизировать (максимизировать) F(X).

Однако реальный процесс оптимизации от этого не упростится. Очень редко показатель качества задачи может быть выражен одной-единственной целевой функцией. Чаще всего приходится выбирать между разными показателями или строить объединенный показатель с какими-либо весовыми коэффициентами. Этот процесс называется построением сложной целевой функции (composite objective function). Мы можем использовать некоторые показатели качества как ограничения. Например, вместо того чтобы максимизировать допустимое давление на единицу веса и внутренний объем сосуда одновременно, мы можем ограничить объем некоторым минимальным значением, а максимальности потребовать только от давления на единицу веса. В этом случае ограничения придется каким-то образом включить в математическую формулировку задачи (ниже мы покажем, как это делается).

Можно ожидать, что в большинстве случаев переменные оптимизации будут иметь ограниченную область определения. Например, высота сосуда не может превышать определенного значения из-за ограниченности высоты помещения. Поэтому вектор X должен удовлетворять определенным требованиям. Компонентами вектора, разумеется, являются переменные оптимизации. Проект, удовлетворяющий всем требованиям, называется приемлемым (feasible design или acceptable design). Ограничение, задающее верхнюю или нижнюю границы области определения переменной оптимизации, называется ограничением области regional constraint или side constraint). Ограничение, выведенное из явного рассмотрения функционального требования или показателя качества, называется функциональным, или поведенческим, ограничением functional, behavior constraint).

С учетом ограничений простая задача оптимизации может быть записана следующим образом: найти

Постановка задачи

при условии,что

Постановка задачи

Постановка задачи

Постановка задачи

где т — количество ограничений-неравенств, a q количество ограничений-равенств. Знак неравенства в формуле (9.3) может быть заменен на противоположный, если условия Gi выражены через отрицания. Символ Rn обозначает пространство конструкций, получаемое варьированием всех переменных оптимизации. Ограничения области, наложенные на переменные оптимизации, записаны в уравнении (9.2), где Xl и Хu — нижний и верхний пределы переменных оптимизации соответственно. Обратите внимание, что функциональные ограничения могут быть записаны как в виде равенств, так и в виде неравенств ((9.3) и (9.4)). Задача оптимизации, выраженная через максимизацию целевой функции, легко преобразуется к задаче минимизации инвертированием или отрицанием исходной целевой функции.

Целевая функция F(X) в формуле (9.1) может быть интерпретирована как уравнение поверхности размерности п в пространстве п + 1 переменных. Для задач с двумя переменными оптимизации такую поверхность легко представить в обычном трехмерном пространстве. Координата z точки поверхности — это значение целевой функции, соответствующее координатам х и у, подставленным вместо параметров. Процесс оптимизации можно, таким образом, сравнить с восхождением на гору в плотном тумане [149]. Альпинист может определить свою высоту при помощи альтиметра и смотреть вокруг себя, выбирая направление подъема или спуска, но не может обнаружить хребты и провалы, затрудняющие продвижение по маршруту. Ему приходится следить и за тем, чтобы не свалиться в пропасть, что эквивалентно нарушению ограничений в формулах (9.2)-(9.4).

 

Смотрите также