qweqweqe123123

Оптимизация топологии

Глобальная оптимизация обязательно включает и оптимизацию топологии, то есть такие изменения, которые включают создание новых границ и удаление существующих. Переменные топологической оптимизации (topology optimization) должны определять конкретную топологию детали. Оптимизация, следовательно, заключается в определении значений переменных, соответствующих такой топологии детали, которая делает поведение данной детали оптимальным по отношению к структуре.

Первые попытки сконструировать топологически оптимальные детали относились к проектированию фермоподобных (скелетообразных) структур. В этой области были проведены достаточно подробные исследования. Обзор литературы, посвященной оптимизации скелетообразных структур, дается Топпингом [154]. Наиболее широко используется подход базовой структуры (ground structure approach), согласно которому пространство конструкции покрывается решеткой узлов. В этих узлах прикладываются нагрузки и задаются ограничения. Базовая структура получается путем соединения каждого узла со всеми остальными. В фермоподобных структурах соединения называются элементами (member). Простой алгоритм поиска позволяет оптимизировать базовую структуру для получения минимального веса при условии, что нагрузка не превысит предел пластичности. В процессе оптимизации лишние элементы базовой структуры удаляются автоматически, когда площадь их поперечного сечения оказывается равной нулю. Получившаяся в результате структура имеет оптимальную топологию. При таком подходе оптимальная структура не обязательно будет единственной, хотя оптимальное значение веса структуры, конечно, единственно. Если необходимо учитывать ограничения на напряжения или смещения, приходится использовать методы нелинейного программирования. Автоматическое удаление лишних элементов оказывается существенно затрудненным, так как напряжения в элементах резко возрастают при стремлении площади их поперечного сечения к нулю. Другая проблема состоит в вырождении матрицы жесткости при удалении некоторых элементов. Впрочем, существует множество методов преодоления описанных трудностей [154, 62].

На ранней стадии в изучении задач оптимизации топологии применялся структурный анализ методом конечных элементов, после которого выполнялось удаление элементов с достаточно низкими напряжениями. Этот подход оказался неудачным, потому что оказалось, что получающаяся в результате форма зависит от начальной плотности сетки конечных элементов. Странг связал это поведение с невыпуклой природой поставленной задачи. Кохн и Странг [89] отметили, что исходная постановка задачи неудачна, и предложили ослабленную вариационную задачу, допускающую наличие композитов (пористых материалов), а не только нулей и единиц (отверстий и материалов).

Бендсоу и Кикучи [17] предположили, что материал является пористым, и решили задачу оптимизации относительно степени пористости. Область конструкции определялась ими как пространство, внутри которого должна поместиться деталь. Область делится на сетку ячеек, к которым прикладываются нагрузки. За целевую функцию в данном случае принимается средняя податливость структуры, а ограничением является максимальный вес. Структурное поведение анализируется методом конечных элементов. За исходную форму детали принимается вся область конструкции. Моделируемый материал считается пористым, для чего ему сопоставляется определенная микроструктура. Ячейка такой микроструктуры показана на рис. 9.22, а. Предполагается, что материал состоит из бесконечного количества таких ячеек, бесконечно малых в этом пределе. Сузуки и Кикучи [147] предположили, что полость в ячейке имеет прямоугольную форму, причем длины сторон прямоугольника равны а и b. Размеры полости внутри ячейки определяют общую пористость материала или долю незаполненного объема в нем. Каждый конечный элемент имеет фиксированное значение пористости, поэтому для каждого элемента задаются только два числа аi и bi, где i — номер элемента. Размеры полостей вместе с ориентацией ячеек θi рассматриваются как переменные оптимизации. Определение угла ориентации ячеек иллюстрирует рис. 9.22, б. Изменение размеров полости и угла ее ориентации влечет за собой изменение свойств материала.

Оптимизация топологии

Для решения задачи оптимального распределения пористости использовался алгоритм критерия оптимальности (optimality criteria algorithm) [17, 147J. Свойства материала очевидным образом зависят от микроструктуры, а значит, и от размера полости в каждой ячейке. Эти свойства являются непрерывными функциями размеров полостей, в отличие от нулевых или ненулевых констант. Для заданной степени пористости или заданных размеров полостей свойства материала можно определить методом усреднения (homogenization method). Типичное соотношение между коэффициентом пористости и размером полости демонстрирует рис. 9.23. Для квадратной полости плотность единичной ячейки определятся выражением (1- а2). Для определения коэффициента при каждом значении размера полости необходимо выполнение анализа методом конечных элементов по всей единичной ячейке. На практике для получения соотношения, показанного на рис. 9.23, коэффициенты Dij, вычисляются для конечного количества значений размеров а, после чего функциональная связь определяется путем интерполяции полученных значений полиномами Лежандра Таким образом, определение соотношения требует многократного выполнения анализа методом конечных элементов внутри единичной ячейки. Полученное соотношение будет иным, если мы рассмотрим микроструктуру с другими геометрическими свойствами. В процессе оптимизации свойства материала внутри каждого элемента определяются описанным способом по соответствующим значениям ai, bi и θi. Алгоритм оптимизации приближается к оптимальному решению, увеличивая размеры полостей в тех элементах, где материал нагружен недостаточно сильно, и уменьшая размеры полостей там, где нагрузка слишком высока. Ориентация полостей в единичных ячейках выбирается таким образом, чтобы жесткость, материала была максимальной. Процедура оптимизации микроструктуры прямоугольных полостей в консольной балке показана на рис. 9.24. Заметьте, что если оптимизация начинается с более мелкой сетки, граница получается более плавной.

Оптимизация топологии

Оптимизация топологии

Оптимизация топологии может выполняться с помощью генетического алгоритма. Первые заслуги в этой области принадлежат Сандгрену и Йенсену [136], которые рассмотрели применение генетического алгоритма к оптимизации топологии множества континуальных структур. Они минимизировали вес структур с учетом требований на смещения и напряжения. Оптимальная топология (рис. 9.25, а), была получена при помощи генетического алгоритма. На рис. 9.25, б, в, г показаны оптимальные формы поперечного сечения балки для различных материалов. Оптимальную структуру велосипеда с соответствующим характером нагрузки [95] показывает рис. 9.26. Результат удивителен тем, что оптимальная структура очень похожа на раму настоящего велосипеда.

Оптимизация топологии

Оптимизация топологии

Смотрите также