Введение в метод конечных элементов

В реальных конструкциях почти всегда присутствуют сложные формы, состоящие к тому же из различных материалов. В качестве примера рассмотрим задачи. представленные на рис. 8.2. Рассчитать распределение напряжений в кронштейне (рис. 8.2, о) при помощи аналитических методов крайне сложно. Если же кронштейн изготовлен из композитного материала со сложными свойствами, задача становится практически неразрешимой. Непреодолимые затруднения возникают и при попытке вывести аналитическое выражение для распределения температур в объекте, изображенном на рис. 8.2, б.

Метод конечных элементов, по всей видимости, является наиболее популярным численным методом решения таких задач. Универсальность этого метода удовлетворяет требованиям современных сложных систем конструирования, для которых обычно отсутствуют замкнутые решения уравнений равновесия. Анализ методом конечных элементов начинается с аппроксимации исследуемой области (области задачи) и делении ее на ячейки сетки. На рис. 8.3, а по углам каждой ячейки находятся узлы (черные точки). Такие ячейки и называются конечными элементами. На рис. 8.3, а, б представлены аппроксимации объектов с рис. 8.2, а, б наборами конечных элементов (треугольных и четырехугольных).

В этом примере мы аппроксимировали исходный объект треугольниками и четырехугольниками, однако возможны и конечные элементы других типов. Выбор элементов определяется областью задачи, ее типом, а также конкретным пакетом анализа. Выбор подходящих элементов с нужным количеством узлов из библиотеки доступных элементов является одним из наиболее важных решений, которые приходится принимать пользователю пакета конечноэлементного анализа. Конструктору также приходится задавать полное количество элементов (другими словами, их размер). Общее правило состоит в том, что чем больше количество узлов и элементов (в h-версии1) или чем выше степень функции формы2 (в р-версии), тем точнее оказывается решение, но тем дороже оно стоит с вычислительной точки зрения. Различные виды конечных элементов рассматриваются в разделе 8.3. Другая проблема — построение сетки, особенно для объекта сложной геометрии. Создание трехмерных сеток конечных элементов обычно представляет собой трудоемкий и кропотливый процесс. Сейчас ведутся активные разработки систем автоматизированного построения сеток, которые могли бы подключаться к системам геометрического моделирования. Такие системы позволили бы полностью интегрировать средства CAM и CAE. Краткий обзор на данную тему дается в разделе 8.4.

Введение в метод конечных элементов

Введение в метод конечных элементов

После аппроксимации исходного объекта конечными элементами с должным количеством узлов каждому узлу сопоставляется неизвестная величина, которая ищется в процессе решения задачи. Например, для рис. 8.3, а неизвестными были бы смещения узлов по координатам х и у. Отсюда следует, что у каждого узла будет две степени свободы, а у задачи в целом будет 2п степеней свободы, если число узлов равно п. В разделе 8.2 мы покажем, что смещение в любой точке конечного элемента выводится из смещений его узлов при помощи функций формы, поэтому неизвестными могут быть только смещения узлов. Функции формы служат лишь для того, чтобы вычислять значения неизвестных внутри элемента по заданным значениям на его узлах3. После вычисления смещений программа может перейти к расчету деформаций как частных производных от функции смещения, а по деформациям рассчитываются напряжения.

Аппроксимировав область задачи набором дискретных конечных элементов, мы должны задать характеристики материала и граничные условия для каждого элемента. Указав различные характеристики для разных элементов, мы можем анализировать поведение объекта, состоящего из разных материалов. Граничные условия (смещение, внешняя сила или температура) обычно задаются на внешней границе объекта. Эти условия должны быть выражены в виде значений смещения, силы или температуры в граничных узлах некоторых конечных элементов. После задания граничных условий для всех внешних узлов программа конечноэлементного анализа формирует систему уравнений, связывающую граничные условия с неизвестными (смещениями или температурой в узлах или коэффициентами функции формы в р-версии), после чего решает эту систему относительно неизвестных. Процесс формирования и решения системы уравнений рассматривается в разделе 8.2.

После нахождения значений неизвестных пользователь получает возможность рассчитать значение любого параметра в любой точке любого конечного элемента по той же функции формы, которая использовалась при построении системы уравнений. Выходные данные программы анализа методом конечных элементов обычно представляются в числовой форме. В задачах механики твердых тел выходными данными являются смещения и напряжения. В задачах на тепло перенос выходными данными являются температуры и тепловые потоки через конкретные элементы. Однако по числовым данным пользователю бывает затруднительно получить общее представление о поведении соответствующих параметров. Графические изображения обычно более информативны, поскольку дают возможность изучить поведение параметров на всей области задачи. Анализ поведения параметров может производиться при помощи постпроцессора, который строит кривые и контурные графики переменных по данным программы конечноэлементного анализа. Для задач строительной механики возможно отображение деформированных тел вместе с недеформированными. В этой области для систем автоматизированного конструирования очень важными становятся функции компьютерной графики.

Мы завершим вводный раздел обсуждением ограничений метода конечных элементов. Многие конструкторы страдают чрезмерной верой в мощь этого метода, не имея представления о его ограничениях; они принимают неправильные результаты без тени сомнения. К преимуществам метода конечных элементов относится возможность работы с телами произвольной геометрии и неоднородными материалами. Однако суть метода состоит в делении области задачи на набор конечных элементов и поиске наилучшего решения, непрерывного «внутри» элементов, но имеющего возможность претерпевать скачки на их границах. Например, деформация на границе конечных элементов кронштейна (рис. 8.3, а), может испытывать скачок, невозможный с точки зрения физики. Величина такого скачка часто служит мерой точности решения, полученного методом конечных элементов. Неточности такого рода зависят от количества элементов, их размера и степени функции формы, используемой внутри каждого из элементов.

 


1 Классическая форма метода конечных элементов называется h-версией. В качестве функции формы и этой версии используются кусочные полиномы фиксированных степеней, а повышение точности достигается уменьшением размеров ячеек. В р-версии используется фиксированная сетка, а точность повышается благодаря увеличению степени функции формы. Подробнее см. в работах (103. 148].

2 Функции формы — независимые полиномы, определяющие аппроксимацию переменной, относительно которой решается задача.

3 В р-версии функция формы представляет собой полином высокого порядка, а коэффициенты этого полинома также считаются неизвестными, которые ищутся в процессе решения задачи.

 

 

Смотрите также