Пример

Вывести и решить системные уравнения для пластины, нагруженной так, как показано на рис. 8.5, а, используя двухэлементную модель (рис. 8.5, б). Модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала, из которого изготовлена пластина, равны Е и v соответственно. Толщина пластины постоянна и равна 1 см. Считайте, что нагрузка Ру прикладывается постепенно, благодаря чему силами инерции можно пренебречь.

Пример

 

Решение

На первом этапе необходимо построить векторы Н(т) и В(т) для т = 1, 2, соответствующие смещениям Uт = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 ]. Чтобы вывести матрицу Н(i) произвольного элемента, следует рассмотреть треугольный элемент (рис. 8.6). Смещения внутри треугольного элемента с тремя узлами могут считаться линейными. Следовательно, выражения для смещений внутри каждого элемента в направлениях х и y будут иметь следующий вид1:

Пример

Пример

Мы можем по той же формуле выразить смещение каждого из узлов:

Пример

Пример

Одновременное решение этих уравнений позволяет определить константы αi, βi через иi, хi, уi. Таким образом получаются следующие выражения для αi, βi 2

Пример

где

Пример

и

Пример

Подстановка значений x1, х2, х3, у1, y2, y3  для элемента 1 в эти уравнения дает

Пример

Уравнение (8.31) можно переписать в матричной форме:

Пример

Аналогичным образом получается выражение для смещений в элементе с номером 2:

Пример

На следующем шаге определяются деформации, то есть матрица В(т). Для этого мы воспользуемся соотношениями между смещениями и деформациями для двумерного случая:

Пример

Таким способом из выражений (8.32) и (8.33) получаются функции ε(1)(x,y,z), ε(2)(x,y,z):

Пример

Пример

Соотношение между деформациями и напряжениями для однородной изотропной пластины выглядит так:

Пример

Предполагается, что изначально структура не была напряжена.

Матрица жесткости для каждого элемента получается подстановкой результатов (8.34)-(8.36) в уравнение (8.17). Рассматриваемые элементы сделаны из одинакового материала, поэтому выражение для С(т) из (8.36) может использоваться для них обоих. (В приведенном ниже выводе интеграл по объему преобразуется к интегралу по поверхности благодаря тому, что пластина имеет единичную толщину.)

Пример

Пример

 

Пример

Матрица жесткости структуры как целого получается получается объединением уравнений (8.37) и (8.38).

Пример

Вектор нагрузки R совпадает с вектором Ri, потому что на узлы действуют только сосредоточенные силы. Отсюда

Пример

где Ру - известная внешняя сила, а F1x, F1y, F3x и F3y неизвестные силы реакции опоры.

Теперь нужно найти неизвестные смещения узловых точек из приведенного ниже уравнения:

Пример

где элементы матрицы жесткости из уравнения (8.39) обозначены kij.

Вы можете самостоятельно убедиться в том, что матрица жесткости в уравне нии (8.39) вырожденна, а потому уравнение (8.41) решить невозможно. Аналогичная ситуация возникает при решении дифференциальных уравнений, которые не дают единственного решения без граничных условий. Так, решение (8.41) можно получить, если учесть в этом уравнении граничные условия:

Пример

Уравнение (8.42) может быть разделено на два независимых матричных уравнения:

Пример

Пример

Мы можем решить уравнение (8.43) относительно неизвестных узловых смещений U3, U4, U7, U8 и подставить найденные значения в уравнение (8.44), после чего определить неизвестные силы реакции опоры F1x, F1y, F3x и F3y. Большая часть программ, реализующих метод конечных элементов, действует именно в этой последовательности.

Определив смещения узлов, мы можем рассчитать деформации и напряжения в элементах по приведенным выше уравнениям. Отсюда мы можем сделать вывод, что смещения играют достаточно важную роль в анализе структуры. Это одна из причин, по которым формулировка метода конечных элементов, предложенная в этом разделе, считается основанной на смещениях (displacement-based formulation).

 


1 Функции  α1+ α2x + α3 у и β1 + β2x  + β3у играют роль интерполяционных функций.

2 После того, как выражения для αi и βi будут подставлены обратно в уравнения (8.29) и (8.30).смешения и и v можно будет записать в форме и = В1(x, y) u1 B2(x,у)и2 +  + В3(х, у)и3v = В1(x, y) v1B2(xy)v2 + B3(x,y)v3. Функции В1(x, у), В2(х, у) и В3(х, у) называются функциями формы.

Смотрите также