Формулировка метода конечных элементов

Как уже отмечалось, программы анализа методом конечных элементов формируют системы уравнений с неизвестными, учитывая заданные граничные условия. Затем система уравнений решается относительное неизвестных, а по найденным решениям рассчитываются значения характеристик внутри элементов. В этом разделе мы рассмотрим процедуру построения системы уравнений в классическом варианте метода конечных элементов (h-версия). Чтобы вывести уравнения для задач строительной механики, мы воспользуемся принципом виртуальных перемещений. Мы будем следовать схеме именования переменных, принятой в работе [10], чтобы заинтересовавшийся читатель мог с легкостью найти в ней ответы на свои вопросы. Для вывода системы уравнений из основных дифференциальных уравнений используется иная процедура, описанная в приложении Л.

Рассмотрим трехмерный объект произвольной формы, находящийся в равновесном состоянии под воздействием некоторой нагрузки (рис. 8.4). Силы трения, действующие на поверхность, обозначим f s, массовые силы — f B, а сосредоточенные внешние силы — F i. В общем случае эти силы раскладываются на компоненты, параллельные осям координат:

Формулировка метода конечных элементов

Формулировка метода конечных элементов

Обозначим смещения произвольной точки объекта (X, Y, Z) по сравнению с конфигурацией в отсутствие нагрузки символом U. Тогда

Формулировка метода конечных элементов

где индекс Т означает транспонирование. Смещения U приведут к возникновению деформаций

Формулировка метода конечных элементов

и соответствующих напряжений

Формулировка метода конечных элементов

Наша задача состоит в том, чтобы рассчитать U, ε, τ в точке (X, Y, Z) по заданным внешним силам. Возможно, вы знакомы со следующим подходом к этой задаче: основные дифференциальные уравнения равновесия записываются путем наложения условия равновесия на элементы объекта, после чего эти уравнения решаются с учетом граничных условий и условий совместности.

Существует равноправный подход к описанию равновесия объекта — принцип виртуальных перемещений. Согласно этому принципу, равновесие объекта требует, чтобы для любых совместных малых виртуальных смещений, удовлетворяющих существенным граничным условиям, полная внутренняя виртуальная работа была равна полной внешней виртуальной работе. Отсюда уравнение равновесия может быть записано следующим образом:

Формулировка метода конечных элементов

Левая часть уравнения (8.5) описывает виртуальную внутреннюю работу, выполняемую реальными напряжениями на виртуальных деформациях, вызванных виртуальными смещениями U. В этом выражении

Формулировка метода конечных элементов

Слагаемые в правой части выражения (8.5) описывают внешнюю работу, выполняемую реальными силами f В, f s и F i на виртуальных перемещениях U, где

Формулировка метода конечных элементов

Верхний индекс S у вектора U означает виртуальное смещение на поверхности, а верхний индекс i — смещение в точке приложения сосредоточенных сил F i. Уравнение (8.5) включает также требования на совместимость и конститутив- ность непрерывных функции смещений, которые удовлетворяют граничным условиям. Напряжения вычисляются через деформации по соответствующим материальным уравнениям. Поэтому принцип виртуальных перемещений включает все требования, которым должно удовлетворять решение задачи строительной механики.

Посмотрим теперь, как из уравнения (8.5) получаются уравнения метода конечных элементов. Начнем с аппроксимации объекта, изображенного на рис. 8.4, сеткой конечных элементов. Элементы соединяются друг с другом в узловых точках, которые находятся на их границах. Смещение в любой точке с координатами (х, у, z) в локальной системе координат элемента считается функцией смещений в узловых точках1. То есть для элемента т высказывается предположение, что

Формулировка метода конечных элементов

где Н(т) — интерполяционная матрица смещений, a U — вектор смещений на всех узлах. Если общее количество узлов равно N, вектор U запишется следующим образом:

Формулировка метода конечных элементов

Это выражение можно переписать так:

Формулировка метода конечных элементов

где Ui, может задавать смещение в любом направлении, а п соответствует общему количеству степеней свободы. Далее мы будем использовать это выражение для U.

Хотя в уравнении (8.10) перечисляются смещения всех узлов, а следовательно, эти смещения входят и в выражение (8.8), для каждого конкретного элемента смещения внутри него определяются только смещениями в его собственных узлах. В уравнение же (8.8) все узлы вошли потому, что это облегчает процесс объединения матриц отдельных элементов в матрицу структуры в целом, как будет показано ниже.

Уравнение (8.8) позволяет вычислить деформации:

Формулировка метода конечных элементов

Строки матрицы деформаций-смещений В(т) из уравнения (8.11) получаются дифференцированием и объединением строк матрицы Н(т). Производные матриц Н(т) и В(т) рассматриваются в примере 8.1.

Теперь мы можем записать и выражения для напряжений внутри каждого элемента:

Формулировка метода конечных элементов

где С(т) — матрица упругости элемента т, а τ' (т) — начальное напряжение внутри элемента. Матрица упругости, которая связывает напряжения с деформациями, подробно изучается в учебниках по основам сопротивления материалов [26]. В cтруктуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента можно задать свою собственную матрицу упругости. Кроме того, матрица упругости позволяет учесть изотропию или анизотропию свойств материала.

Перед тем как подставить выражения (8.8), (8.11) и (8.12) в формулу принципа виртуальных смещений, мы перепишем уравнение (8.5) в виде суммы интегралов по объемам и поверхностям отдельных элементов:

Формулировка метода конечных элементов

где т изменяется от 1 до полного количества элементов в системе.

Подставляя выражения (8.8), (8.11) и (8.12) в (8.13), будем предполагать, что виртуальные смещения в элементе ū) связаны с виртуальными узловыми смещениями Ū той же матрицей Н(т) из (8.8). Эта подстановка даст следующее выражение:

Формулировка метода конечных элементов

где поверхностные интерполяционные матрицы смещений Нs(т) получаются из объемных интерполяционных матриц смещений Н(т) подстановкой координат поверхности элемента. F — вектор внешних сосредоточенных сил, действующих на узловые точки. Компоненты вектора F соответствуют компонентам смещений вектора Ū. Обратите внимание, что в уравнении (8.14) вектор Ū вынесен за знак суммирования, потому что он не зависит от рассматриваемого элемента.

Чтобы выражение (8.14) было верным для произвольного виртуального смещения (а это и есть условие равновесия), должно выполняться следующее равенство:

Формулировка метода конечных элементов

Будем отныне обозначать смещения в узлах просто буквой U. Перепишем уравнение (8.15) в виде

Формулировка метода конечных элементов

где

Формулировка метода конечных элементов

Обратите внимание, что суммирование интегралов по объемам отдельных элементов в формуле (8.17) выражает тот факт, что матрица жесткости набора элементов как целого получается сложением матриц жесткости элементов К). Аналогичным образом, вектор RB объемной силы, действующей на все тело, получается суммированием векторов объемных сил, действующих на отдельные элементы. Тем же путем вычисляются и векторы прочих сил.

Выражение (8.16) описывает статическое равновесие. Если приложенные силы изменяются во времени, это выражение применимо к любому конкретному моменту. Однако при быстром приложении нагрузки необходимо учитывать силы инерции. По принципу Даламбера силы инерции отдельных элементов могут быть добавлены к массовым силам. Если предположить, что ускорение в любой точке элемента связано с ускорениями в узловых точках матрицей Н(т) подобно смещениям, вклад массовых сил в вектор нагрузки R будет выражаться так:

Формулировка метода конечных элементов

где Ū — ускорения узловых точек, а р(т) — массовая плотность элемента т. Слагаемое f В(т) в выражении (8.23) больше не включает никаких сил инерции.

Подстановка (8.23) вместо (8.19) в (8.15) дает новое уравнение равновесия:

Формулировка метода конечных элементов

где М — матрица масс, определяемая следующим образом

Формулировка метода конечных элементов

Обратите внимание, что U и R в уравнении (8.24) являются функциями времени.

Демпфирующие силы могут быть учтены как дополнительный вклад в массовые силы, что позволяет описать эффект демпфирования (затухания). Уравнение (8.23) при этом принимает новый вид

Формулировка метода конечных элементов

где Ū — вектор скоростей узловых точек, а к,(т) — демпфирующий коэффициент для элемента т.

Уравнение равновесия приобретает вид

Формулировка метода конечных элементов

где С — матрица демпфирования, структура которой описывается выражением

Формулировка метода конечных элементов

На практике матрицу С обычно конструируют из массовой матрицы и матрицы жесткости на основании экспериментальных данных по демпфированию в материале, потому что определить параметры демпфирования отдельных элементов достаточно сложно.

Приведенный ниже пример иллюстрирует изложенную процедуру вывода системных уравнений.

 


1 В р-версии смещение включает две составляющие. Первая определяется смещениями узлов, как и в (8.8), зато вторая описывает «иерархическое» смещение, выражаемое полиномом произвольной степени. Подробнее о р-версии конечноэлементного анализа можно прочитать в работах [103, 148].

Смотрите также